介绍一下不动点定理
不动点定理与 Hopf 定理 May 16, 2005
Brouwer 不动点定理与 Hopf 定理
- THANXmm -
我个人比较钟情于拓扑和几何。 因为现代的数学研究的是不变量的数学，不变量的性质，而拓扑最能够体现出不变量的性质，所以拓扑是很美妙的。而Brouwer定理，Hopf定理是我所接触的结论中非常漂亮的两个。
两个光滑流行M,N,如果存在从M到N的光滑映射f，那么映射的Jacobi矩阵的rank就定义为映射的rank. 现在，若存在M上一点P,使得对于P点，rank(f)=dim(M),我们说P为regular point(正则点），并且若q=f(p),则称q为映射f的正则值（regular value); 令df(q)为过q点的切映射，引入符号sign(df(q)),使得若df(q)保定向，sign(df)=1；若df(q)反定向，sign(df) =-1； 定义deg(f;y)为sign(df(x))的和，x是正则值y的所有逆像点。
现在我首先叙述一下Morse-Sard,Brown定理(符号如前）： Morse-Sard定理：令C为映射f的不是正则点的点所构成的集合，则f(C)的Lebesgue测度为 零。 Brown定理：N中的正则值在N中是处处稠密的。
我感觉这两个定理都是经典分析学中的经典定理，但是现在基本上都是用微分拓扑的方法来证明的。微分拓扑在数学的很多分支中有广泛的应用，比如代数学基本定理，这个定理虽说是单数学中提出来的，但是在各种证明方法中，竟然没有一个是纯代数性质的。这其实是一个很有趣的事情，同时也说明了，数学的各种分支，本质上是密不可分的。
通过Morse-Sard定理，我们可以证明Brouwer不动点定理：任意从单位圆到自身的光滑映射（实际上条件可以降为连续映射）都存在不动点。 而且，这个定理有一个深刻的推论，那就是：任意从紧致凸集到自身的光滑映射都存在不动点。
下面再来介绍Hopf定理，先来一些准备工作：令M是一个光滑流行，用X(P)来表示过P点的光滑切向量场，如果X(P)=0,我们称P点是奇点。 如果还存在P点的邻域U,使得对于U内任意的q点，都有X(q)!=0,我们称P点为孤立奇点。 Hopf定理：如果M是一个紧致定向流行（就是闭流行），X是M上的光滑切向量场，且X仅有孤立奇点，则：1）X至多有有限个奇点，记作：p1,p2,.....,pk 2) deg(f;pk)=E(M);(E为M的Euler数）；
Hopf定理将拓扑性质与流行的度相联系，也算是微分拓扑中的一个深刻而经典的定理了。
符号满天飞，想必大家看到这儿已经晕菜了；所以我想介绍一下上面提到的那些定理的两个有趣的应用。我们知道RP(n)(n维射影空间）可以写作S(n)的对径点粘合f，不妨令f=e(f');其中f':S(n)->S(n),e:S(n)- >RP(n)是对径点粘合的映射。因为S(n)是紧致凸集，那么f'一定有不懂点。而在e的作用下，e(x)=e(-x); 这样，我们可以证明，一定存在S(n)上的p点，令f(p)=f(-p);
如果我们将地球表面的水平风速看作地球球面上的切向量场X；由于E(球面）=2，于是球面上的连续切向量场有奇点，于是一定存在球面上的P点，使得X(p)=0; 于是我们得到这样的结论：任何时刻地球上存在一处水平风速为零。 呵呵呵呵，很有趣的结论吧！！！！
