圆锥曲线问题。
设有斜圆锥ABC，任作一平面，与圆锥的底平面相交于GF(GF位于底圆之外)，与圆锥面交于曲线EDL．作底圆的直径BC⊥GF(即过圆心作直线垂直于GF)并延长之交GF于G．通过直径BC及顶点A的平面与圆锥相交而成的△ABC轴三角形．E，D是轴三角形与曲线的交点，E，D，G均在轴三角形平面上，又在截平面上，故EDG是轴三角形平面与截平面的交线．
在圆锥截线上任取一点L，作ML∥GF，交ED于M．过M作PR∥BC，则PR与ML所确定的平面与底平面平行①①一平面上的两相交直线分别与另一平面上的两相交直线平行，则此二平面平行．
，因此与圆锥面的交线是一圆(图中未画出)．P，L，R是此圆周上三点，且PR是直径，而ML⊥PR．设EM=x，ML=y，则
y2=PMMR (1)
在轴三角形平面内作AK∥EG交BC的延长线于K，因△EPM∽△ABK，故
又△MRD∽△ACK，故
(2)，(3)两式左右相乘，
圆锥及截平面给定后，ED即已确定，记ED=2a，则
MD＝2a－x．
过E作EH⊥EG，使EH=p．连接HD，作MN与EH平行且相等，交HD于X，作XO⊥EH．在△EHD中，
代入(5)，
y2=EOx．
此式表明，EO，EM构成的矩形面积等于ML上的正方形．
在欧几里得几何中，常见这样的作图题：以EM为一边作一个矩形，“贴合”(application)到EH上去，使其面积等于一个已知正方形．所谓“贴合”，就是矩形的一条边与EH重合，其长度可以小于、等于或大于EH．
更一般的提法是求作平行四边形，贴合到已知线段上去，使其满足某种条件(如有一个角等于已知角，或与某平行四边形相似等)，且面积等于某已知图形(参见欧几里得《几何原本》卷Ⅰ命题44，卷Ⅵ命题27，29等)．
此处以EM为一边，贴合到EH上，使其面积等于ML上的正方形．所求矩形EOXM的一边EO＜EH，这种情形叫做“不足”(falling short，代“锐角圆锥截线”而成为一类圆锥曲线的名称．这就是“椭圆”(英ellipse法ellipse，德Ellipse，意ellisse，西ellpse，俄зллипсис)一词的来源．对于双曲线的情形，矩形的一边EO＞EH，这时叫“过剩”法hyperbole，德Hyperbel，意ipèrbole，西hipérbola，俄эллнпсис)．而“抛物线”(英parabola，法parabole，德parabel，意paràdola，西parábola，俄гипербола)的字源就是
这些名称最先为阿波罗尼奥斯所创用，一直沿用到现在．抛物线之名出自命题11，双曲线出自命题12，椭圆出自命题13．
本例贴合到EH上的矩形的边是不足的，阿波罗尼奥斯称所得的截线为椭圆、如建立一个坐标系，问题就看得更清楚．以E为坐标原点，EDG为横轴，过E作平行于ML的直线为纵轴．这样就得到笛卡儿斜角坐标系．ML⊥PR，但一般不垂直ED，故为斜角坐标．x，y是L点的横、纵坐标，恒满足(5)，即
在解析几何中这正是椭圆的方程．
用类似的方法可以得到另外两种截线．如果截平面和底圆相交，而且和圆锥面的另一支(位于顶点A的另一侧)也相交，便得到双曲线，其方程为
如截平面平行于一条母线，则与底圆相交，但只与圆锥的一支相交，这时得到抛物线，方程为
方程中的p在图中是线段EH，叫做矩形的“竖直边”(erect side)，
ctum)．式(6)，(7)，(8)表明，椭圆、双曲线、抛物线上任一点的纵坐标的平方分别小于、大于、等于正焦弦乘以横坐标．
参考资料：http://mkd.lyge.cn/zhanzheng/a29/009.htm
高考不要求！所以……
BUZHIDAO
