在游戏制作中实现坐标变换
1. 如何根据坐标架进行点的坐标变换
首先坐标架定义成
struct PNT3D{
double x,y,z;
};
struct FRAME{
PNT3D O, OX, OY, OZ;
};
假设有一个点 p 定义在 frame 所在坐标系 WC(World Coordinate) 之中，也就是说 p 在 frame 之外。为了将 p 转入 frame，我们首先需要作平移
p1 = p - frame.O;
这个时候 p1 相当于定义在一个将 WC 平移到 frame.O 的一个坐标架之中。这个坐标架和 frame.O 供用坐标原点，但是三个坐标轴并不一定相同。为了得到 frame 中的三个坐标分量我们只须将 p1 和三个基矢量作点积
WC-frame 变换公式：
p2.x = p1*frame.OX = (p-frame.O)*frame.OX;
p2.y = p1*frame.OY = (p-frame.O)*frame.OY;
p2.z = p1*frame.OZ = (p-frame.O)*frame.OZ;
其中 * 代表点积。这里所得到的 p2 就是 WC 中的 p 在 frame 中对应的点。到此为止我们完成了电从坐标架之外变换到坐标架内。同样的，我们也可以采用简单的方法把点从坐标架内变换到坐标架之外。
假设 p 是 frame 之内的点，首先
p1 = p.x*frame.OX + p.y*frame.OY + p.z*frame.OZ;
上面的公式将 p 的各个分量作为权值将三个坐标架的基矢量累加起来，得到的 p1 相当于平移 WC 和 frame 重合坐标原点的坐标架中的点。接下来，自然是处理平移
frame-WC 变换公式：
p2 = p1 + freame.O;
= p.x*frame.OX + p.y*frame.OY + p.z*frame.OZ + frame.O;
p2 就是转换到 WC 的点。
2.如何根据坐标架生成变换矩阵
矩阵在图形程序中应用十分广泛。它可以表达更复杂的变换形式。这里所指的矩阵是左乘矩阵，即矩阵位于点的左边。
我们可以用一个矩阵来代表从坐标架外到坐标架中的变换，也可以用一个矩阵代表从坐标架之中到坐标架之外的变换。下面的 mat 是按照行优先规则存放的矩阵。从坐标架中变换到坐标架外 frame-WC 的矩阵如下
frame-WC 变换矩阵：
mat[0] = OX.x;mat[1] = OY.x;mat[2] =
OZ.x;mat[3] = Oc.x;
mat[4] = OX.y;mat[5] = OY.y;mat[6] =
OZ.y;mat[7] = Oc.y;
mat[8] = OX.z;mat[9] = OY.z;mat[10] = OZ.z;mat[11] = Oc.z;
mat[12] = 0;mat[13] = 0;mat[14] = 0;mat[15] = 1;
其中，OX, OY, OZ 是坐标架的三个基矢量，Oc 是坐标架的坐标原点。我们将这个矩阵乘以点 p(x,y,z,1)
p1 = mat*p;
我们可以得到 p1 就是 WC 坐标系下面的点。下面是这个矩阵的推导过程，如果觉得头大，可以跳过去。
推导过程
首先我们来看上面得到的根据一个坐标架，从坐标架内转换到坐标架外的公式
Px 是被转换的点，P1 是转换后的点。为了书写方便，我们把 frame.OX 写成 OX，其余类推。于是得到：
这个公式已经可以看到矩阵的影子了。为了进一步向 4*4 的矩阵靠近，我们采用齐次形式：
我们把它逐渐展开，我们就得到了这一大堆东西，这下子矩阵相乘的形式出来了。这里的 4*4 的矩阵，就是上面的 mat 数组。
搞定了 frame-WC 的矩阵，我们现在来搞 WC-frame 的矩阵
WC-frame 变换矩阵：
mat[0] = OX.x;mat[1] = OX.y;mat[2] =
OX.z;mat[3] = -(Oc.x*OX.x + Oc.y*OX.y + Oc.z*OX.z);
mat[4] = OY.x;mat[5] = OY.y;mat[6] =
OY.z;mat[7] = -(Oc.x*OY.x + Oc.y*OY.y + Oc.z*OY.z);
mat[8] = OZ.x;mat[9] = OZ.y;mat[10] = OZ.z;mat[11] = -(Oc.x*OZ.x + Oc.y*OZ.y + Oc.z*OZ.z);
mat[12] = 0;mat[13] = 0;mat[14] = 0;mat[15] = 1;
写代码的时候把这一堆抄过去就行了。如果不想看推导，就跳过下面的部分。
推导过程
同样的我们根据上面的式子出发进行推导
在这里，我们把点也搞成了齐次形式，位的是更好的向 4*4 矩阵迈进。我们继续拆解上面第二个式子的右面部分
其实也很容易出来（不过炮炮是想了很长时间才想出来的：）。
3.如何通过矩阵作点的坐标变换
这个最好办了。我们这里讨论的矩阵都是左乘矩阵，所以把矩阵乘以点就完成了变换。
x = M[0][0]*Px + M[0][1]*Py + M[0][2]*Pz + M[0][3];
y = M[1][0]*Px + M[1][1]*Py + M[1][2]*Pz + M[1][3];
z = M[2][0]*Px + M[2][1]*Py + M[2][2]*Pz + M[2][3];
这里的 M 是一个 4*4 的二维数组，存放行优先的矩阵。
4.曲线、曲面方程如何作变换
曲线、曲面方程有参数方程、非参数方程等形式。当然曲线、曲面还可能由微分方程描述。这个时候微分方程如果没有公式解，事情就很麻烦。计算机中一般比较容易处理参数方程。参数方程作变换形式上很简单
右边的结果会得到一个矢量，最终可以得到 (F1x, F1y, F1z) 的形式，这是一个新的参数方程。如果曲线曲面由非参数方程描述 F(x,y,z)=0，比如
这个时候，你可以尝试解出 x,y,z：
令 x = u，y = v，可以得到
这下得到参数方程了，可以按照前面讲的步骤作转换。最后你会得到曲线、曲面变换后的参数方程。接下来你可以尝试着消去这些中间参数 u,v。这个过程可能会比较艰难。
如果遇到隐式方程，无法解出，比如
这是最倒霉的情况，求解是没希望的。当然，如果你不要求精确的公式，你还是可以先令 x=u， y=v，代入之后，用泰勒展开求的 z 的级数，这也是一个方法哦：）
