什么叫天元术？

那么什么是“天元术”呢？这其实就是现代代数学当中的列方程的方法，即根据已知条件，列出一个包含未知数的方程。“天元术”的具体程序与现代列方程的方法基本是一样的：首先是“立大无一为某某”，这个“某某”便是未知量，相当于现代代数中“设x为某某”；然后再根据已知条件，列出两个相等的多项式；最后把这两个多项式相减，便得到了一个一端为零的方程。在宋代以前，中国的数学家已经能列出某些方程，但由于没有找到普遍的方法，而且全部要用文字来表达，所以列起来比较困难，特别是列高次方程更加繁难。“天元术”的出现，为数学家们列方程指出了一条简明易行的普遍方法和便于操作的具体程序，从而使中国古代的代数学又上了一个新的台阶。

在宋元之际的战乱年代，有一位知识分子，他远离尘世的喧嚣，隐居在河北元氏县的封龙山中。他对天文地理、文学艺术都很精通，尤其对数学更是情有独钟。他到处收集散落在民间的数学典籍，然后认真攻读，刻苦研究。有一次，他意外地得到了一部叫《洞渊九容》的数学秘籍，攻读之后，令他茅塞顿开，爱不释手。经过长年的学习和研究，他把他的学习心得和研究成果编成一部数学著作，书名叫做《测圆海镜》；同时在封龙山下招徒讲学，传授数学知识。临死之际，他把儿子叫到身边，对他说：我一生写了很多著作，我死了以后，其他的书都可以烧掉，独独这本《测圆海镜》，你一定要给我保存好。因为这部书凝结了我的半生心血，其中的数学成果后世一定会发扬光大的。

以上这则故事，请读者千万不要以为是武侠小说中的虚构情节，其实它是发生在历史上的真人真事。这位知识分子的名字叫李冶，他的数学著作《测圆海镜》已经流传至今，被后人称为“中土数学之宝书”。他从《洞渊九容》中受到启发，并经过潜心研究而总结出来的数学成果，就是在中国数学史上具有开创性意义的“天元术”。

参考资料：http://www.mmit.stc.sh.cn/telecenter/CnHisScience/tianyuan.htm

用天元(相当于x)作为未知数符号，立出高次方程，古代称为天元术，这是中国数学史上首次引入符号，并用符号运算来解决建立高次方程的问题。现存最早的天元术著作是李冶的《测圆海镜》。

从天元术推广到二元、三元和四元的高次联立方程组，是宋元数学家的又一项杰出的创造。留传至今，并对这一杰出创造进行系统论述的是朱世杰的《四元玉鉴》。

天元术

中国古代求解高次方程的方法。13世纪，高次方程的数值解法是数学难题之一。当时许多数学家都致力于这个问题。在中国，自从贾宪提出二项式系数表和增乘开方法以后，高次方程的解法得到迅速发展。1248年，金代数学家李冶在其著作《测圆海镜》中，系统地介绍了天元术。他改进前人的工作，用天、地分别表示方程的正次幂和负次幂，设天元一为未知数，根据问题的已知条件，列出两个相等的多项式，经相减后得出一个高次方程（天元开方式），这与设x为未知数列方程一样。其表示法为：在一次项系数旁记一“元”字（或在常数项旁记一“太”字），“元”以上的系数表示各正次幂，“元”以下的系数表示常数和各负次幂（或“太”以上的系数表示各正次幂，“太”以下的系数表示各负次幂）。

天元术是中国传统数学发展中的一个重要创造，是符号代数学的开端。

李冶-天元术的硕果

2003-11-13 阅读次数:546次

清代数学家罗士琳（1774—1853）在他的《畴人传续编朱世杰条》中评论朱世杰的数学成就时说：

“汉卿在宋元间，与秦道古（九韶）、李仁卿（冶）可称鼎足而三。道古正负开方，仁卿天元如积，皆足上下千古，汉卿又兼包众有，充类尽量，神而明之，尤超越乎秦李之上”。

清代另一位数学家王鉴在他的《算学启蒙述义自序》中也说：“朱松庭先生兼秦李之所长，成一家之著作”。

由上述二人的这两条评论来看，朱世杰可以被看作是中国宋元时期数学发展的总结性人物，是宋元数学的代表，是中国以筹算为主要计算工具的古代数学发展的顶峰。

《四元玉鉴》可以说是朱世杰阐述自己多年研究成果的一部力著，全书共分3卷，24门，288问。书中所有问题都与求解方程或求解方程组有关，其中：

四元的问题（需设立四个未知数者）有7问（“四象朝元”6问，“假令四草”1问）；三元的13问（“三才变通”11问，“或问歌彖”和“假令四草”各1问）；二元的36问（“两仪合辙”12问，“左右逢元”21问，“或问歌彖”2问，“假令四草”1问）”；一元的232问（其余各问都是一元）。

可见，四元术——多元高次方程组的解法是《四元玉鉴》的主要内容，也是全书的主要成就。

《四元玉鉴》中的另一项突出的成就是关于高阶等差级数的求和问题。在此基础上，朱世杰还进一步解决了高次差的招差法问题。

《四元玉鉴》一书的流传曾几经波折。这部1303年初版的著作，在15和16两个世纪都还可以找到它流传的线索。

第一：吴敬所著《九章算法比类大全》（1405年）中的一些算题，和《四元玉鉴》中的完全相同或部分相同。

第二：顾应祥在他所著的《孤矢算术》序言（1552年）中写道。“孤矢一术，古今算法载者绝少……《四元玉鉴》所载数条”。

第三：周述学所著《神道大编历宗算会》卷三之首曾引用了《四元玉鉴》书首的各种图式，书中有些算题也与《四元玉鉴》相同，卷十四作为“算会圣贤”列有“松庭《四元玉鉴》”。可见顾应祥、周述学二人都曾读到过《四元玉鉴》。

第四：清初黄虞稷（1618—1683）《干顷堂书目》记有“《四元玉鉴》二卷”卷数不符。

第五：梅瑴成（1681—1763）《赤水遗珍》（1761年）中曾引用过《四元玉鉴》中的两个题目，可见清初时此书尚未失传。

公元1772年开《四库全书》馆时，虽然挖掘出不少古代数学典籍，但朱世杰的著作并未被收入。阮元、李锐（1769—1817）等人编纂《畴人传》时（1799年）也尚未发现《四元玉鉴》。但不久之后阮元即在浙江访得此书，呈入《四库全书》，并把抄本交李锐校对（未校完），后由何元锡按此抄本刻印。这是1303年《四元玉鉴》初版以来的第1个重刻本。

《四元玉鉴》被重新“发现”以后，引起了当时许多学者的注意，如李锐、沈钦裴（1829年写有《四元玉鉴》序）、徐有壬（1800—1860）、罗士琳、戴煦（1805—1860）等人，都进行过研究。其中以沈钦裴和罗士琳二人的工作最为突出。

1839年罗士琳经多年研究之后，出版了他所著的《四元玉鉴细草》一书，影响广泛。罗士琳对《四元玉鉴》进行了校改并对书中每一问题作了细草。与罗士琳同时，沈钦裴也对《四元玉鉴》作了精心研究，每题也做了细草。

清代数学家李善兰（ 1811—1882）曾著有《四元解》（1845年）。其后陈棠著《四元消法简易草》（1899年），卷末附有“假令四草”的“补正草”。

日本数学史家三上义夫在其所著的《中国及日本数学之发展》一书中将《四元玉鉴》介绍至国外。其后康南兹和赫师慎分别把《四元玉鉴》中的“假令四草”译为英法两种文字。

1977年华裔新西兰人谢元祚将《四元玉鉴》全文译成法文，并写了关于《四元玉鉴》的论文。

朱世杰的“四元术”是在高次方程的数值解法以及“天元术”的基础上发展起来的。

朱世杰深刻阐述了运用“天元术”——以代数方法处理几何问题的巨大的优越性。

当未知数不止一个的时候，除设未知数天元（x）外，还需要增设地元（Y），人元（Z）乃至物元（U），再列写出二元、三元甚至四元的高次联立方程组，然后求解。这就是朱世杰在他的著作中所介绍的“四元术”。

朱世杰不仅提出了多元（最多到四元）高次联立方程组的算筹摆置记述方法，而且把《九章算术》等书中的四元一次联立方程组解法推广到四元高次联立方程组，在《四元玉鉴》中举例说明了高次联立方程组的求解方法——消去法。

总之，朱世杰的《四元玉鉴》为推进我国古代数学的发展作出了不可磨灭的重要贡献。但是，我们在看到朱世杰的贡献时，千万不要忘了，站在他前面逢山开路，遇水搭桥的伟大数学家李冶的“凿空”之功！

参考资料：http://www.bjkp.gov.cn/bjkpzc/kxcl/rw/fmj/12008.shtml

就是方程