对数函数的参数取值范围问题

已知函数f<x>等于log(x+a/x-4)(a>0且a不等于1}的值域是R ，则a 的取值范围是

请写出解答过程！

题目中，底数似乎是 a 吧？但实际上，无论“底数”是多少（只要 底数＞0且≠1 即可），都不影响解答本题。

解：

因为 函数f(x)＝log(x+a/x-4) 的值域是 R，所以 函数 y＝x+a/x-4（x≠0) 的值域必须“包含”有 (0,+∞), 也就是说(0，+∞)包含在“y＝x+a/x-4”的值域中就能满足题意，不一定恰好是(0,+∞)。

设方程 x+a/x-4＝k (k＞0) 即 x^2 -(4+k)x + a＝0 --------------------（1）

由原题意，对任意 k＞0 ，关于“x”的二次方程(1) 都有解，

于是判别式 △＝g(k)＝(4+k)^2 - 4a＝k^2 + 8k + 16 - 4a ≥0 ---------（2）

进一步，当 k＞0 时，关于“k”的不等式（2）恒成立，所以

对关于“k”的二次函数 g(k)＝k^2 + 8k + 16 - 4a ，有 g(0)＝16 - 4a≥0 ，

[因为 g(k) 的对称轴是 k＝-4，作图可知：欲使 当 k＞0 时 （2）式恒成立，必须有 g(0)＝16 - 4a≥0 ]

解得 a≤4，

又因为 a＞0 且 a≠1，所以，a 的取值范围是 (0,1)∪(1,4] 。

对数怎没有底数？（下按底数为a来解答）

解：由对数函数y=loga(x)(a>0,且a≠1,x∈(0,+∞))的值域为R

知，只需函数u=x+a/x-4的值域D包含(0,+∞)

∵a>0 ∴当x<0时，a/x<0

∴u=x+a/x-4≤-2√a-4

当x>0时，a/x>0

∴u=x+a/x-4≥2√a-4

∴D∈(-∞,-2√a-4]∪[2√a-4 ,+∞)

令2√a-4≤0，即可保证(0,+∞)包含于[2√a-4 ,+∞)，即包含于D

解之，得a≤4 又a>0, 且a≠1

故所求a的取值范围是（0，1）∪（1，4]。