3D 中的方位 （读书笔记）
方位，就是方向+位置， 物体”方向“，指物体的朝向，比如说3D空间中的一个人脸，可以面向你，也可以面向天空。
直观的想象，每个物体都有6个自由度，代表位置的 x, y, z 坐标，以及绕 x, y, z 轴旋转的角度，很容易想到，可以用3个数来描述一个物体的方向。欧拉角正是一个用3 个数来描述方向的描述方式， 一般用 所谓 " heading-pitch-bank" 约定，在左手坐标系中， ”heading“ 是绕 y 轴旋转的量，向右为正，"pitch" 是绕 x 轴旋转，向下为正，"bank" 是绕 z 轴旋转，从原点向 z 正看，逆时针方向为正。 要注意的是，这些旋转的 x, y, z 轴是物体坐标系的轴。
欧拉角只用3个数来描述方向，并且3个数都是角度，因此对我们来说相对容易使用，表达方式也最为简洁（没有多余数据），任意3个数都是合法的，因此 计算误差积累对欧拉角的影响不大。
欧拉角表达同一个方向时，可以有无穷多个表示（绕 x 半圈和 1圈半是一样的），为了唯一表示，一般我们限定 heading 和 bank 在 +180度到 -180 度之间， pitch 限制在 +90度到-90度之间。即使这样规定，方向的表示还不是唯一的，还有一个所谓的”万向锁“ 问题， 先 heading 45 度再 pitch 90度 和先 pitch 90度再 bank 45度是一样的，因此规定发生万向锁问题时（pitch 90），由 heading 来完成旋转，bank 为 0。
欧拉角计算插值时比较麻烦，如果不使用限制 欧拉角 ，使用简单插值计算就会碰到插值时旋转过多的问题，720 和 45度 只差45度，但是简单的插值运算会导致转圈，即使使用限制欧拉角， -170度到 170 度之间只相差 20度，但简单的插值会旋转 160度，必须把两国角度差限制在 180度以内。最后，当遭遇万向锁时，会碰到更为难办的问题，大多数会导致抖动、路径错误的现象，这是一个底层问题，几乎不可避免。
四元数可以看作 2D中的虚数在3D中的扩展，由 4 个数来表示方向，从而避免了欧拉角的一些问题。一般的表示法是 [ w, v ] 或 [ w, (x, y, z) ] （注意：这里的x,y,z 不是位置的x,y,z 坐标，粗体表示向量）。欧拉证明了任何旋转都可以通过对一个轴的单一旋转来表示，因此方向可以分解为一个角度(θ)+轴(n)，但是，这个角度和轴不是简单的放在四元数中，他们的关系如下：
q = [ cos(θ/2) , sin(θ/2)n ] = [ cos(θ/2), ( sin(θ/2)x, sin(θ/2)y, sin(θ/2)z ) ]
四元数和虚数一样，可以进行+, 求逆、点乘，叉乘等操作，对于四元数进行插值（slerp）运算就相当简单，也不会碰到万向锁的问题。它还能快速连接和角位移求逆，能和矩阵形式快速转换，并且仅用了4个数。
四元数的问题在于，它比欧拉角多用了一个数（占用了更多空间），同时，四元数可能不合法（能通过四元数标志化解决这个问题），难于直接使用。
最后，还可以用 3 * 3 的矩阵来保存方位，他可以立即进行向量的旋转，并且被图形api 直接支持，多个角位移可以连接，求矩阵的逆也简单，但是它占用了太多内存，难于使用，并且可能是病态的。矩阵的缩放、切变或镜像等操作可能导致方向的未定义行为，导致病态矩阵。坏的数据源，比如物理获取设备可能传输错误数据，导致病态矩阵。由于浮点数的计算精度有限，大量的矩阵乘法可能导致矩阵蠕变，最终产生病态矩阵（可以通过矩阵正交化来解决这种蠕变）。
一般的来说，和人交互（比如 3ds 中设计物体时）可以使用欧拉角，保存（特别是大量的方位，比如动画）时可以考虑欧拉角和四元数，平滑转动（线性插值）最好用四元数，要进行多次计算和连接时用矩阵。
参考文献：《3D 数学基础：图形与游戏开发》 (美) Fletcher Dunn, Ian Parberry 著 清华大学出版社
PS: 这本书是3D数学知识的入门级书籍，刚学3D的看看这本书有助于很多概念的理解。
