開關電源數字控制器設計方法的比較
蔣平 李曉帆 魯莉容
（華中科技大學 430074 武漢）
引言
隨著微處理器和數字信號處理器（DSP）的發展，數字控制器在開關電源中的應用越來越廣泛。与模擬控制器相比，數字控制器有許多优點：實現計算功能更容易；對控制系統參數的修改更靈活；對噪聲和外部影響的敏感程度更低等。
在工程應用中，數字控制器的設計方法可以分為兩類：數字式再設計法和直接數字設計法。數字式再設計法就是先設計連續域中的控制器，然后再進行离散化。直接數字設計法就是先將連續域中的被控對象模型离散化，然后直接在离散域中對控制器進行設計。常用的离散方法有四种：后向差分法、雙線性變換法、階躍響應不變法和极點－零點匹配映射法。不同設計方法會對系統性能產生不同的影響。
2 數字控制器的設計方法
2.1 數字式再設計法
在數字式再設計法中，首先要設計連續域中的控制器。現假設一連續域中的系統如圖1所示，其中H(s)表示被控對象，Gc(s)就是要設計的控制器,HSH(S)表示采樣延遲。采樣延遲函數可以表示為：
把采樣延遲函數線性化之后，伯德圖法等標准的設計方法就可以用來設計控制器Gc(s)了。
一旦設計Gc(s)了，我們就可以對它進行离散化。表1給出了几种常用的离散化方法。階躍響應不變法中的Z代表Z變換。
后向差分法很容易實現，但它不能保持模擬控制器的脈衝和頻率響應。雙線性變換法把S平面的左半部分變換為Z平面的單位圓，因此不會產生混迭現象。這种方法最大的优點就是當頻率低于采樣頻率的1/10時，它能保持模擬控制器的幅頻和相頻特性。階躍響應不變法保持了模擬控制器的階躍響應，卻沒有保持脈衝和頻率響應。零點极點匹配映射法保持了零點和极點的位置，但它也可能產生混迭現象。
2.2 直接數字設計法
在直接數字設計法中，數字控制器是在离散域中使用被控對象的階躍響應不變模型而設計的。建立了被控對象的离散模型后，控制器就可以直接使用WTBXZ域中的方法來設計了，如：頻率響應法、根軌跡法和無差拍法。
對于熟悉S域伯德圖設計法的人來說，頻率響應法是最方便的。在這种方法中，可以使用S域中的一些相同概念，如截止頻率、相角裕度等。但這种方法的缺點就是采樣頻率必須比閉環系統的帶寬高10倍以上。 根軌跡法是一种對應于n階多項式的圖表法。它通過調整控制器的參數而使系統的零點和极點處于适當的位置。但是當控制器中要調節的參數個數較多時，這种調節過程可能需要很長的時間。
無差拍法就是使系統的輸出在有限個采樣周期之后与期望值相等。這种方法需要對被控對象進行精确的建模，因此在大多數情況下，這种方法的优勢并不明顯。
在直接數字設計法中，我們建議首先使用頻率響應法獲得最初的控制器模型，然后再使用根軌跡法對控制器進行优化。這樣，就可以把這兩种方法的优點結合起來，從而設計出最优的控制器。本文即采用這种方法。
3 設計實例
為了研究各种數字控制器設計方法對系統性能的影響，以圖2所示的逆變器為例來進行說明。系統參數為：Vdc=215V，Ki=0.06，KV=0.01，RL=0.3Ω，L=1.2mH，C=13.2μF。負載可以是10 Ω的電阻，也可以是非線性負載，開關頻率40kHz。這是一個典型的二階雙環系統。
圖3給出了系統傳遞函數的方框圖。圖中，Gci(s)W是電流控制器，Gcv(s)是電壓控制器
用五种方法分別對電流控制器和電壓控制器進行設計：直接數字設計法，數字式再設計法采用后向差分法、雙線性變換法、階躍響應不變法、极點－零點匹配映射法。采樣頻率為40kHz和10kHz。用Matlab對系統進行了仿真，并從以下三個方面對系統性能進行了比較：
（1）系統的帶寬和相角裕度；
（2）負載突變時的超調量；
（3）非線性負載下的輸出電壓諧波畸變率（THD）。
3.1 電流控制器設計
系統的內環是電流環，因此必須先設計電流控制器。電流環中的傳遞函數Hi(s)可以表示為：
如果使用數字式再設計法，利用伯德圖，可以得到使電流環帶寬為6kHz，相角裕度為60°的模擬控制器
用表1中的方法，可以很容易的得到其离散域的表達形式。例如，后向差分法
用類似的方法還可以得到其他几种离散法的控制器傳遞函數。
如果使用直接數字設計法，必須先用階躍響應不變法將Hi(s)轉換到离散域中：
這時就不必考慮采樣延遲了，即HSH(s)=1。因為离散化就已經考慮了這個延遲。然后再用ω域的頻率響應法設計數字控制器的初步模型。使用ω變換
因此在ω域中就可以設計一個使電流環帶寬為6kHz，相角裕度為60°的數字控制器：
采樣頻率40 kHz，負載突變（由20%到100%）時的電流波形如圖4所示，表2從超調量、帶寬和相角裕度三個方面對這五种方法進行了比較。從圖4和表2可以看出，在四种數字式再設計法中，后向差分法帶寬最大 ，階躍響應不變法的帶寬最窄，超調量也最大。而直接數字設計法比所有的再設計法都要好，它的帶寬比后向差分法高25%，比雙線性變換法高29%，并且它的超調量也是所有設計法中最小的。
表2中的帶寬和相角裕度是用系統的离散域開環傳遞函數Gci(z)Hi(z)得到的，它們比連續域的6kHz帶寬稍高。
當采樣頻率為10 kHz時，同樣運用伯德圖法，設計一使電流環帶寬為2.5 kHz,相角裕度為60°的模擬控制器：
圖5給出了當采樣頻率降為10 kHz，開關頻率仍為40 kHz，負載由20%突變到100%時的電 流仿真波形。表3對其進行了比較。
從圖5和表2中我們可以得出与前面相似的結論，只是超調量都增大了，而帶寬和相角裕度都減小了。從圖4和圖5我們還可以看出，在低采樣頻率時，更容易判斷出哪种設計方法會對系統產生最好的影響。
3.2 電壓控制器設計
電壓環是系統的外環。當采樣頻率為40*#kHz時，使系統帶寬為2.8*#kHz，相角裕度為65°的s域電壓控制器為：
圖6 給出了使用不同設計方法得到的電壓控制器時逆變器在負載突變時（由20%突變到100%）的輸出電壓仿真波形。表4對五种設計方法進行了比較。我們可以看出在四种再設計法中，后向差分法具有最大的帶寬和最小的超調量。但直接數字設計法仍然是最好的方法。它的帶寬比后向差分法大30%，比雙線性變換法大 40%。
當采樣頻率降為10*#kHz時，需對電壓控制器重新進行設計，得到一s域中的控制器模型：
負載突變時的輸出電壓仿真波形如圖7所示，表5對其進行了比較。圖7和表5同樣可以說明直接數字法仍然是最好的設計方法，然后是后向差分法。直接數字法的帶寬比后向差分法大70%，比雙線性變換法大89%。
3.3 非線性負載時的輸出電壓諧波畸變率
當負載為非線性時，逆變器的輸出電壓將產生畸變。圖9就是當負載為如圖8所示的整流性負載時逆變器的輸出電壓和輸出電流仿真波形。表6給出了采樣頻率分別為40 kHz和10 kHz時的輸出電壓諧波畸變率(THD) 。
從表6可以得出，直接數字設計法的THD最低。在數字式再設計法中，后向差分法的THD最低，但四者之間的差別很小。
4 結論
本文從三個方面對開關電源中常用的几种數字控制器設計方法進行了系統的比較和分析。從前面的仿真和分析可以看出，直接數字設計法是所有設計方法中最好的方法，而后向差分法是數字式再設計法中最好的方法。并且，采樣頻率越低，各种設計方法之間的差別就越明顯。
本文摘自《通信電源技術》