多素数RSA系统简介
普通的RSA系统，在生成密钥时使用两个大素数，以它们的乘积作为模。本文介绍一种PKCS#1 V2.1中描述的“多素数RSA系统”，它可以使用超过两个素数的乘积作为模。
多素数RSA密钥产生算法如下：
1. 生成k个素数p1, p2, …, pk
2. 求k个素数的乘积n=∏pi, i=1,2,…,k
3. 求Euler函数值φ(n)=∏(pi-1)
4. 选择指数e, 使得gcd(e,φ(n))=1
5. 求指数d=e-1 mod φ(n)
6. 输出公钥(e,n)和私钥(d,n)
多素数RSA加密和解密算法与普通RSA的相同：
加密 c=me mod n
解密 m=cd mod n
例如，在三素数RSA系统中，设p1=3，p2=7，p3=13，则
n=3×7×13=273，φ(n)= 2×6×12=144，选择e=5，推出d=29。
得到公钥为(5,273)，私钥为(29,273)。
设明文为m=18，则加密过程为
c= me mod n=185 mod 273=135，
解密过程为
m= cd mod n =13529 mod 273=18
显然，要达到相同的密钥位数（模的位数），多素数RSA系统比普通RSA系统所需要的素数要小。因此，多素数RSA算法的优点主要表现在两个方面：
1. 能够减少生成密钥的计算量。
2. 应用孙子定理（中国剩余定理），能够减少解密、签名的计算量。
另一方面，素因子越小，大数分解就越容易。RSA实验室公布的数据显示，使用的素数越多，RSA强度越低。下表列出了攻破2至多素数RSA系统所需要的运算量(单位：MIPS·年)。
密钥长度
2素数(普通)
3素数
4素数
5素数
512 bits
2.1 x 106
容易
很容易
非常容易
768 bits
4.0 x 1011
1.2 x 108
容易
很容易
1024 bits
1.4 x 1016
3.0 x 1011
2.1 x 108
容易
1536 bits
8.2 x 1023
1.8 x 1017
1.9 x 1013
4.2 x 1010
2048 bits
3.8 x 1030
1.5 x 1022
3.2 x 1017
2.3 x 1014
可见，多素数RSA系统还是具有一定实用价值的。在实际应用中，采取普通还是多素数RSA系统，应视具体情况而定。
[相关资源]
l RFC 3447 - PKCS #1: RSA Cryptography Specifications Version 2.1
l A Cost-Based Security Analysis of Symmetric and Asymmetric Key Lengths
l bhw98的专栏：http://www.csdn.net/develop/author/netauthor/bhw98/
首次发布: 2003-10-24
最后修订: 2003-10-24
