实用算法(基础算法-递推法-02)
顺推法
倒推法的逆过程就是顺推法，即由边界条件出发，通过递推关系式推出后项值，再由后项值按递推关系式推出再后项值......，依次递推，直至从问题初始陈述向前推进到这个问题的解为止。
实数数列：一个实数数列共有N项，已知
ai=(ai-1-ai+1)/2+d, (1<i<N)(N<60)
键盘输入N,d,a1,an,m,输出am
输入数据均不需判错。
算法分析：
分析该题，对公式：
Ai=(Ai-1-Ai+1)/2+d (1<i<N) (n<60)
作一翻推敲，探讨其数字变换规律。不然的话会无从下手。
令 X=A2 s2[i]=(pi,Qi,Ri)表示Ai=PiX+QiD+RiA1
我们可以根据
Ai=Ai-2-2Ai-1+2D
=PiX+QiD+RiA1
推出公式
PiX+QiD+RiA1=(Pi-2-2Pi-1)X+(Qi-2-2Qi-1+2)D+(Ri-2-2Ri-1)A1
比较等号两端X,D和A1的系数项，可得
Pi=Pi-2-2Pi-1
Qi=Qi-2-2Qi-1+2
Ri=Ri-2-2Ri-1
加上两个边界条件
P1=0 Q1=0 R1=1 (A1=A1)
P2=1 Q2=0 R2=0 (A2=A2)
根据Pi、Qi、Ri的递推式，可以计算出
S2[1]=(0,0,1);
S2[3]=(-2,2,1);
S2[4]=(5,-2,-2);
S2[5]=(-12,8,5);
...................
S2[i]=(Pi,Qi,Ri);
...................
S2[N]=(PN,QN,RN);
有了上述基础，AM便不难求得。有两种方法：
1、由于AN、A1和PN、QN、RN已知，因此可以先根据公式：
A2=AN-QND-RNA1
/PN
求出A2。然后将A2代入公式
A3=A1-2A2+2D
求出A3。然后将A3代入公式
A4=A2-2A3+2D
求出A4。然后将A4代入公式
............................
求出Ai-1。然后将Ai-1代入公式
Ai=Ai-2-2Ai-1+2D
求出Ai。依此类推，直至递推至AM为止。
上述算法的缺陷是由于A2是两数相除的结果，而除数PN递增，因此精度误差在所难免，以后的递推过程又不断地将误差扩大，以至当M超过40时，求出的AM明显徧离正确值。显然这种方法简单但不可靠。
2、我们令A2=A2,A3=X，由S3[i]=(Pi,Qi,Ri)表示Ai=PiX+QiD+RiA2 (i>=2) 可计算出：
S3[2]=(0,0,1)=S2[1];
S3[3]=(1,0,0)=S2[2];
S3[4]=(-2,2,1)=S2[3];
S3[5]=(5,-2-2)=S2[4];
......................
S3[i]=(..........)=S2[i-1];
.....................
S3[N]=(..........)=S2[N-1];
再令A3=A3,A4=X,由S4[i]=(pi,Qi,Ri)表示Ai=PiX+QiD+RiA3 (i>=3) 可计算得出：
S4[3]=(0,0,1)=S3[2]=S2[1];
S4[4]=(1,0,0)=S3[3]=S2[2];
S4[5]=(-22,1)=S3[4]=S2[3];
..........................
S4[i]=(...........)=S3[i-1]=S2[i-2];
.......................
S4[N]=(...........)=S3[N-1]=S2[N-2];
依此类推，我们可以发现一个有趣的式子：
AN=PN-i+2*Ai+QN-i+2*D+RN-i+2*Ai-1, 即
Ai=(AN-QN-i+2*D-RN-i+2*Ai-1)/PN-i+2
我们从已知量A1和AN出发，依据上述公式顺序递推A2、A3、...、AM.由于PN-i+2递减，因此最后得出的AM要比第一种算法趋于精确。
程序代码如下：
program ND1P4;
const
maxn =60;
var
n,m,i :integer;
d :real;
list :array[1..maxn] of real; {list[i]-------对应ai}
s :array[1..maxn,1..3] of real; {s[i,1]--------对应Pi}
{s[i,2]--------对应Qi}
{s[i,3]--------对应Ri}
procedure init;
begin
write('n m d =');