如何证明三角形三条高交于一点

很多人都知道三角形的三条高相交于一点，但却不知道为什么相交于一点，这里蕴含了很多的数学重要思想，对中高考压轴题都很有帮助，下面小编来为你用多种不同的方法证明。

工具/原料

一张纸，一把直尺，一根笔

方法/步骤

1：证法一：运用同一法证三条高两两相交的交点是同一点。

已知：△abc的两条高be、cf相交于点o，第三条高ad交高bd于点q，交高cf于点p。

求证：p、q、o三点重合

证明：如图，∵be⊥ac，cf⊥ab

∴∠aeb=∠afc=90°

又∵∠bae=∠caf

∴△abe∽△acf

∴，

即ab·af=ac·ae

又∵ad⊥bc

∴△aeq∽△adc，△afp∽△adb

∴，

即ac·ae=ad·aq，ab·af=ad·ap

∵ab·af=ac·ae，ac·ae=ad·aq，ab·af=ad·ap

∴ad·aq=ad·ap

∴aq=ap

∵点q、p都在线段ad上

∴点q、p重合

∴ad与be、ad与cf交于同一点

∵两条不平行的直线只有一个交点

∴be与cf也交于此点

∴点q、p、o重合。

2：证法二：连结一顶点和两高交点的线垂直于第三边，运用四点共圆性质。

已知：△abc的两条高ad、be相交于点o，第三条高cf交高ab于点f，连结co交ab于点f。

求证：cf⊥ab。

证明:∵ad⊥bc于e，be⊥ac于e

∴a、b、d、e四点共圆

∴∠1＝∠abe

同理∠2＝∠1

∴∠2＝∠abe

∵∠abe+∠bac＝90°，

∴∠2+∠bac＝90°

即cf⊥ab。

3：证法三：证明两条高的交点在第三条高线上，建立直角坐标系运用代数方法证明。

证明：如图6，以直线bc为x轴，高ad为y轴，建立直角坐标系，设a(0,a),b(b,0),c(c,0),由两条直线垂直的条件

则三条高的直线方程分别为：

解（2）和（3）得

∴

这说明be和cf得交点在ad上，所以三角形的三条高相交于一点。

4：证法四：转化为证明另一个三角形的三条中垂线（或中线）交于一点。

已知：ad、be、cf是△abc的三条高。

求证：ad、be、cf相交于一点。

证明：过点a、b、c分别作bc、ac、ab的平行线ml、mn、nl

∵am∥bc，mb∥ac

∴四边形ambc是平行四边形

∴am＝bc

同理，al＝bc

∴am＝al

∵ad⊥ml

∴ad是ml的垂直平分线

同理，be、cf分别是mn、nl的垂直平分线

而三角形的三条垂直平分线相交于一点

∴ad、be、cf相交于一点。

5：证法五：运用锡瓦（ceva）定理证明。

已知：ad、be、cf是△abc的三条高。

求证：ad、be、cf相交于一点。

证明：如图，∵ad⊥bc于e，be⊥ac于e

∴△abd∽△cbf

∴（1）

同理，由△adc∽△bec得

，（2）

由△afc∽△aeb

（3）

三式相乘得

即

∴ad、be、cf相交于一点。

6：证法六：用向量方法证明（初中没有学过相关知识的可以不掌握）

注意事项

以上方法仅供参考，如有错误之处敬请谅解

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希望本文如何证明三角形三条高交于一点能帮到你。